ОГЛАВЛЕНИЕ


От редактора перевода ... 5
Предисловие ... 7
Предварительные сведения ... 11
Литература ... 14

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ГРУППЫ, КОЛЬЦА И МОДУЛИ

Глава I. Группы
§ 1. Моноиды ... 17
§ 2. Группы ... 21
§ 3. Циклические группы ... 25
§ 4. Нормальные подгруппы ... 27
§ 5. Действие группы на множестве ... 32
§ 6. Силовские подгруппы ... 36
§ 7. Категории и функторы ... 39
§ 8. Свободные группы ... 47
§ 9. Прямые суммы и свободные абелевы группы ... 55
§ 10. Конечно порожденные абелевы группы ... 61
§ 11. Дуальная группа ... 66
Упражнения ... 69

Глава II. Кольца
§ 1. Кольца и гомоморфизмы ... 73
§ 2. Коммутативные кольца ... 80
§ 3. Локализация ... 85
§ 4. Кольца главных идеалов ... 89
Упражнения ... 92

Глава III. Модули
§ 1. Основные определения ... 93
§ 2. Группа гомоморфизмов ... 95
§ 3. Прямые произведения и суммы модулей 98
§ 4. Свободные модули ... 103
§ 5. Векторные пространства ... 105
§ 6. Дуальное пространство ... 108
Упражнения ... 111

Глава IV. Гомологии
§1. Комплексы ... 114
§ 2. Гомологическая последовательность ... 116
§ 3. Эйлерова характеристика ... 118
§ 4. Теорема Жордана — Гёльдера ... 122
Упражнения ... 126

Глава V. Многочлены
§ 1. Свободные алгебры ... 127
§ 2. Определение многочленов ... 131
§ 3. Элементарные свойства многочленов ... 136
§ 4. Алгоритм Евклида ... 141
§ 5. Простейшие дроби ... 145
§ 6. Однозначность разложения на простые множители многочленов от нескольких переменных ... 148
§ 7. Критерии неприводимости ... 151
§ 8. Производная и кратные корни ... 153
§ 9. Симметрические многочлены ... 155
§ 10. Результант 158
Упражнения ... 162

Глава VI. Нётеровы кольца и модули
§ 1. Основные критерии ... 166
§ 2. Теорема Гильберта ... 169
§ 3. Степенные ряды ... 170
§ 4. Ассоциированные простые идеалы ... 172
§ 5. Примарное разложение ... 177
Упражнения ... 181

ЧАСТЬ ВТОРАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ

Глава VII. Алгебраические расширения
§ 1. Конечные и алгебраические расширения ... 185
§ 2. Алгебраическое замыкание ... 191
§ 3. Поля разложения и нормальные расширения ... 198
§ 4. Сепарабельные расширения ... 202
§ 5. Конечные поля ... 208
§ 6. Примитивные элементы ... 211
§ 7. Чисто несепарабельные расширения 213
Упражнения ... 217

Глава VIII. Теория Галуа
§ 1. Расширения Галуа ... 219
§ 2. Примеры и приложения ... 227
§ 3. Корни из единицы ... 232
§ 4. Линейная независимость характеров ... 237
§ 5. Норма и след ... 239
§ 6. Циклические расширения ... 243
§ 7. Разрешимые и радикальные расширения ... 246
§ 8. Теория Куммера ... 248
§ 9. Уравнение Xn-a=0 ... 252
§ 10. Когомологии Галуа ... 255
§ 11. Алгебраическая независимость гомоморфизмов ... 256
§ 12. Теорема о нормальном базисе ... 260
Упражнения ... 260

Глава IX. Расширения колец
§ 1. Целые расширения колец ... 268
§ 2. Целые расширения Галуа ... 275
§ 3. Продолжение гомоморфизмов ... 282
Упражнения ... 284

Глава X. Трансцендентные расширения
§ 1. Базисы трансцендентности ... 286
§ 2. Теорема Гильберта о нулях ... 288
§ 3. Алгебраические множества ... 290
§ 4. Теорема Нётера о нормализации ... 294
§ 5. Линейно свободные расширения ... 295
§ 6. Сепарабельные расширения ... 298
§ 7. Дифференцирования ... 301
Упражнения ... 305

Глава XI. Вещественные поля
§ 1. Упорядоченные поля ... 307
§ 2. Вещественные поля ... 309
§ 3. Вещественные нули и гомоморфизмы ... 316
Упражнения ... 321

Глава XII. Абсолютные значения
§ 1. Определения, зависимость и независимость ... 322
§ 2. Пополнения ... 325
§ 3. Конечные расширения ... 332
§ 4. Нормирования ... 336
§ 5. Пополнения и нормирования ... 345
§ 6. Дискретные нормирования ... 346
§ 7. Нули многочленов в полных полях ... 350
Упражнения ... 353

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Глава XIII. Матрицы и линейные отображения
§ 1. Матрицы ... 361
§ 2. Ранг матрицы ... 363
§ 3. Матрицы и линейные отображения ... 364
§ 4. Определители ... 368
§ 5. Двойственность ... 378
§ 6. Матрицы и билинейные формы ... 383
§ 7. Полуторалинейная двойственность ... 388
Упражнения ... 393

Глава XIV. Структура билинейных форм
§ 1. Предварительные сведения, ортогональные суммы ... 396
§ 2. Квадратичные отображения ... 399
§ 3. Симметрические формы, ортогональные базисы ... 400
§ 4. Гиперболические пространства ... 402
§ 5. Теорема Витта ... 403
§ 6. Группа Витта ... 403
§ 7. Симметрические формы над упорядоченными полями... 408
§ 8. Алгебра Клиффорда ... 411
§ 9. Знакопеременные формы ... 415
§ 10. Пфаффиан ... 417
§ 11. Эрмитовы формы ... 419
§ 12. Спектральная теорема (эрмитов случай) ... 421
§ 13. Спектральная теорема (симметрический случай) ... 423
Упражнения ... 425

Глава XV. Представление одного эндоморфизма
§ 1. Представления ... 429
§ 2. Модули над кольцами главных идеалов ... 432
§ 3. Разложение над одним эндоморфизмом ... 442
§ 4. Характеристический многочлен ... 446
Упражнения ... 452

Глава XVI. Полилинейные произведения
§ 1. Тензорное произведение ... 456
§ 2. Основные свойства ... 461
§ 3. Расширение основного кольца ... 466
§ 4. Тензорное произведение алгебр ... 468
§ 5. Тензорная алгебра модуля ... 470
§ 6. Знакопеременные произведения ... 473
§ 7. Симметрические произведения ... 477
§ 8. Кольцо Эйлера — Гротендика ... 478
§ 9. Некоторые функториальные изоморфизмы ... 481
Упражнения ... 486

Глава XVII. Полупростота
§ 1. Матрицы и линейные отображения над некоммутативными кольцами ... 488
§ 2. Условия, определяющие полупростоту ... 491
§ 3. Теорема плотности ... 493
§ 4. Полупростые кольца ... 496
§ 5. Простые кольца ... 498
§ 6. Сбалансированные модули ... 501
Упражнения ... 502

Глава XVIII. Представления конечных групп
§ 1. Полупростота групповой алгебры ... 504
§ 2. Характеры ... 506
§ 3. Одномерные представления ... 511
§ 4. Пространство функций классов ... 512
§ 5. Соотношения ортогональности 516
§ 6. Индуцированные характеры ... 520
§ 7. Индуцированные представления ... 523
§ 8. Положительное разложение регулярного характера... 528
§ 9. Сверхразрешимые группы ... 530
§ 10. Теорема Брауэра ... 533
§ 11. Поле определения представления ... 539
Упражнения ... 541

Добавление. Трансцендентность e и ж ... 546

Указатель ... 553

Назад, на страницу описания