ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава первая. Дифференциальное исчисление функций одного переменного
§ 1. Вещественные числа ... 11
1.1. Свойства вещественных чисел ... 11
1.2. Обозначения 20 § 2. Верхние и нижние грани множеств ... 22
2.1. Свойства верхних и нижних граней множеств ... 22
2.2. Сечения в множестве вещественных чисел ... 27
§ 3. Предел последовательности ... 28
3.1. Определение предела последовательности и некоторые его свойства 28
3.2. Пределы монотонных последовательностей ... 31
3.3. ТеоремаБольцано—Вейерштрасса и критерий Коши ... 35
3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности ... 39
3.5. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями ... 41
3.6. Изображение вещественных чисел бесконечными десятичными дробями ... 47
3.7. Счетность рациональных чисел. Несчетность вещественных чисел ... 52
3.8. Верхний и нижний пределы последовательностей ... 55
§ 4. Функции и их пределы ... 60
4.1. Понятие функции ... 60
4.2. Способы задания функции ... 64
4.3. Элементарные функции и их классификация ... 68
4.4. Первое определение предела функции ... 69
4.5. Второе определение предела функции ... 72
4.6. Свойства пределов функций ... 76
4.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции ... 78
4.8. Пределы монотонных функций ... 80
4.9. Критерий Коши существования предела функции ... 81
§ 5. Непрерывность функции в точке ... 84
5.1. Точки непрерывности и точки разрыва функции ... 84
5.2. Свойство функций, непрерывных в точке ... 88
§ 6. Свойства функций, непрерывных на промежутках ... 89
6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений ... 89
6.2. Промежуточные значения непрерывной функции ... 91
6.3. Обратные функции 93

§ 7. Непрерывность элементарных функций ... 96
7.1. Многочлены и рациональные функции ... 96
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции ... 97
7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции ... 105
§ 8. Сравнение функций. Вычисление пределов ... 106
8.1. Некоторые замечательные пределы ... 106
8.2. Сравнение функций ... 111
8.3. Эквивалентные функции ... 116
8.4. Метод выделения главной части функции. Применение к вычислению пределов ... 117
§ 9. Производная и дифференциал ... 121
9.1. Определение производной ... 121
9.2. Дифференциал функции ... 124
9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала ... 127
9 4. Физический смысл производной и дифференциала ... 131
9.5. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями ... 133
9.6. Производная обратной функции ... 137
9.7. Производная и дифференциал сложной функции ... 139
9.8. Гиперболические функции и их производные ... 145
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков ... 148
10.1. Производные высших порядков ... 148
10.2. Свойства производных высших порядков ... 149
10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрически ... 151
10.4. Дифференциалы высших порядков ... 154

§ 11. Теоремы о среднем длядифференцируемых функций ... 156
11.1. Теорема Ферма ... 156
11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях ... 158
§ 12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя ... 164
12.1. Неопределенности вида — 0 оо 168
12.2. Неопределенности вида — 0/0
§ 13. Формула Тейлора 173
13.1. Вывод формулы Тейлора ... 173
13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки ... 176
13.3. Примеры разложения по формуле Тейлора ... 179
13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части ... 181
§ 14. Исследование поведения функции ... 184
14.1. Критерий монотонности функции ... 184
14.2. Экстремумы функций. Определение наибольших и наименьших значений функций ... 184
14.3. Выпуклость и точки перегиба ... 190
14.4. Асимптоты ... 196
14.5. Построение графиков функций ... 198

§ 15. Вектор-функция ... 209
15.1. Понятие предела и непрерывности для вектор-функции ... 209
15.2. Производная и дифференциал вектор-функции ... 212
§ 16. Длина дуги кривой ... 216
16.1. Понятие кривой ... 216
16.2. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной вектор-функции ... 221
16.3. Длина дуги кривой и дифференциал длины дуги ... 224
16.4. Плоские кривые ... 231
16.5. Физический смысл производной вектор-функции ... 233
§ 17. Кривизна кривой ... 234
17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие ... 234
17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление ... 237
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость ... 239
17.4. Центр кривизны и эволюта кривой ... 241
17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоских кривых ... 241

Глава вторая. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§ 18. Множества на плоскости и в пространстве ... 247
18.1. Окрестности и пределы последовательностей точек ... 247
18.2. Различные типы множеств ... 261

§ 19. Предел и непрерывность функций многих переменных ... 265
19.1. Предел функции ... 265
19.2. Непрерывность функций ... 270
19.3. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций ... 272
19.4. Теоремы о функциях, непрерывных на множествах ... 273
19.5. Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности ... 276
§ 20. Частные производные ... 283
Дифференцируемость функций многих переменных
20.1. Частные производные и частные дифференциалы ... 283
20.2. Дифференцируемость функции в точке ... 286
20.3. Дифференцирование сложной функции ... 293
20.4. Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов ... 296
20.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала ... 302
20.6. Производная по направлению ... 305

§21. Частные производные и дифференциалы высших порядков ... 310
21.1. Частные производные высших порядков ... 310
21.2. Дифференциалы высших порядков ... 313

Глава третья. Интегральное исчисление функций одного переменного
§ 22. Определение и свойства неопределенного интеграла ... 318
22.1. Первообразная и неопределенный интеграл ... 318
22.2. Табличные интегралы ... 321
22.3. Интегрирование подстановкой ... 323
22.4. Интегрирование по частям ... 325

§ 23. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах ... 327
23.1. Комплексные числа ... 327
23.2. Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел ... 332
23.3. Разложение многочленов на множители ... 336
23.4. Общий наибольший делитель многочленов ... 338.
23.5. Разложение правильных рациональных дробей на элементарные ... 343
§ 24. Интегрирование рациональных дробей ... 350
24.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей ... 350
24.2. Общий случай ... 352
24.3. Метод Остроградского ... 354

§ 25. Интегрирование некоторых иррациональностей ... 359
25.1. Интегралы вида

•> cx + d cx + d ... 360
25.2. Интегралы вида

J R(x, ax2 +bx + c)dx ... 363
Подстановка Эйлера ... 363
25.3. Интегралы от дифференциального бинома ... 366
25.4. Интегралы вида [ , dx4ах2+bx+c
§ 26. Интегрирование некоторых классов трансцендентных функций ... 371
26.1. Интегралы вида [i?(sinx,cosx)dx ... 371
26.2. Интегралы вида [sin" xcosm xdx ... 373
26.3. Интегралы вида [ sin, ax cos (Зхдх

j sin, осх sin (Зхйх , j cos ocx cos (Зхдх ... 374
26.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям ... 375
26.5. Интегралы вида R(shx, chx)dx ... 376
26.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через элементарные функции ... 377
§ 27. Определенный интеграл ... 379
27.1. Определение интеграла по Риману ... 379
27.2. Ограниченность интегрируемой функции ... 382
27.3. Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу Верхний и нижний интегралы Дарбу ... 383
27.4. Необходимые и достаточные условия интегрируемости ... 386
27.5. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций... 388
§ 29. Свойства интегрируемых функций ... 390
28.1. Свойства определенного интеграла ... 390
28.2. Теорема о среднем для определенного интеграла ... 399
28.3. Интегрируемость кусочно- непрерывных функций ... 403
§ 29. Определенный интеграл с переменным верхним пределом ... 405
29.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу ... 405
29.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Существование первообразной у непрерывной функции ... 406
29.3. Формула Ньютона—Лейбница ... 408

§ 30. Методы вычисления определенного интеграла ... 409
30.1. Замена переменного ... 409
30.2. Интегрирование по частям ... 411

§ 31. Мера плоских открытых множеств ... 413
31.1. Определение меры (площади) открытых множеств ... 413
31.2. Монотонность меры открытых множеств ... 415
§ 32. Некоторые геометрические и

физические приложения определенного интеграла ... 423
32.1. Вычисление площадей ... 423
32.2. Объем тел вращения ... 429
32.3. Вычисление длины кривой ... 431
32.4. Площадь поверхности вращения ... 434
32.5. Работа силы ... 438
32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой ... 439
§ 33. Интегралы от неограниченных функций ... 442
33.1. Определение интеграла от неограниченной функции ... 442
33.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов на конечном промежутке ... 447
33.3. Несобственные интегралы от неотрицательных на конечном промежутке функций 449
33.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы на конечном промежутке ... 457
§ 34, Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования ... 459
34.1. Определение несобственных интегралов с бесконечными пределами ... 459
34.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов ... 461
34.3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами от неотрицательных функций ... 465
34.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы с бесконечными пределами. Метод улучшения сходимости интегралов ... 469

Глава четвертая. Ряды
§ 35. Числовые ряды ... 477
35.1. Определение ряда и его сходимость ... 477
35.2. Свойства сходящихся рядов ... 480
35.3. Критерии сходимости рядов ... 482
35.4. Критерии сходимости рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части n-го члена ряда ... 484
35.5. Знакопеременные ряды ... 496
35.6. Абсолютно сходящиеся ряды. Использование абсолютно сходящихся рядов для исследования сходимости произвольных рядов ... 499
35.7. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Признак Дирихле ... 506
§ 36. Функциональные последовательности и ряды ... 514
36.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов ... 514
36.2. Равномерная сходимость последовательностей и рядов ... 518
36.3. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей ... 529
§ 37. Степенные ряды ... 536
37.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда. Формула Коши—Адамара 536
37.2. Аналитические функции ... 543
37.3. Вещественные аналитические функции ... 544
37.4. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора ... 547
37.5. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора ... 552
37.6. Разложение в степенные ряды и суммирование степенных рядов методом почленного дифференцирования и интегрирования ... 560
§ 38. Кратные ряды ... 562
38.1. Кратные числовые ряды ... 562
38.2. Кратные функциональные ряды ... 568

Алфавитный указатель

Назад, на страницу описания