ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящий курс является учебником, в котором излагаются основные разделы математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисление и теория рядов. Курс написан на основе лекций по математическому анализу, которые читаются автором с 1956 г. в Московском физико-техническом институте.

Математический анализ изучает функциональные зависимости и является той частью классической математики, которая является основой почти для любой математической дисциплины. Поэтому не случайно, что он обычно является первым серьезным курсом высшей математики, с которым приходится сталкиваться учащемуся. Задачей этого курса является не только сообщение известного запаса сведений (определений, теорем, их доказательств, связей между ними, методов решения задач) и обучение их применению. В его задачу входят развитие у учащихся логического мышления и математической культуры, необходимых для изучения математики (да и вообще для проведения научно-исследовательской работы), развитие математической (аналитической и геометрической) интуиции. Наконец, курс математического анализа идейно готовит читателя к изучению других математических методов, других математических дисциплин.

Запас сведений, сообщаемых в предлагаемой книге, автор старался сделать по возможности минимальным. Он состоит из изложения лишь тех фактов, которые рассматриваются обычно на лекциях, и необходимых дополнений к ним, которые предназначены ответить на вопросы и рассеять неясности, могущие возникнуть у части слушателей лекций, и этим помочь преодолеть неизбежные затруднения.

Материал в книге автор старался изложить так, чтобы максимально помочь учащемуся овладеть различными математическими методами, сделать их простыми и естественными, научить свободно их применять. С этой целью в учебнике довольно много места отводится разбору решения задач на основе рассмотренных общих методов. Имеется также много упражнений, которые позволяют лучше усвоить изложенный материал, по существу разобраться в его содержании, проконтролировать его понимание, развить математическую культуру мышления, научить применять математический аппарат к решению простейших задач. В упражнениях формулируются факты, которые могут быть легко доказаны методами разобранными в курсе, причем эти факты иногда используются в дальнейшем. К упражнениям отнесены такие задания, которые посильны каждому учащемуся. Весьма рекомендуется при изучении курса делать все упражнения по мере того, как они появляются в тексте, ибо они составляют неотъемлемую часть всего изложения. Если какое-либо из упражнений вызывает затруднение, это означает, что соответствующая часть курса не усвоена и целесообразно вернуться назад.

Кроме упражнений, в курсе изредка попадаются и задачи, решения которых, в отличие от упражнений, отнюдь не являются необходимым условием усвоения курса. Они предназначаются для тех учащихся, у которых появится желание померить свои силы на решении более серьезных и глубоких вопросов, часто требующих новых идей и методов, не рассматриваемых в курсе. Эти задачи весьма различны по своей трудности, и среди них имеются такие, решение которых может потребовать весьма длительного времени. Некоторые упражнения и задачи в известной мере имеют своей целью ответить на вопросы, которые могут возникнуть у учащегося при изучении основных понятий математического анализа.

Примеров на применение методов математического анализа к решению задач из смежных дисциплин приводится лишь небольшое количество, поскольку курсы этих дисциплин читаются в высших учебных заведениях параллельно с курсом математического анализа и предполагается, что последний используется в них в достаточной степени.

Изложение материала ведется на уровне строгости, принятом в настоящее время в классической математике. Исключение сделано лишь для некоторых вопросов теории поля, связанных, например, с так называемым правилом штопора, изложенным менее строю. Наведение здесь математической строгости существенно увеличило бы объем изложения этого круга вопросов.

Понятие математической строгости в определенном смысле следует считать пока историческим понятием. Уровень строгости при изложении математических методов определяется потребностью практики в широком смысле слова. Невозможность решить ту или иную задачу на прежнем уровне строгости или возникающие противоречия приводят к возникновению новых логических концепций, нового понятия строгости. Во всяком случае, мы в нашем курсе нигде не останавливаемся на вопросах существования (непротиворечивости) возникающих в процессе наших рассуждений множеств и понятий, не подвергаем сомнению принцип произвольного выбора. Мы не будем приводить соответствующих примеров, дабы не посеять у неискушенного учащегося излишних сомнений, которые могут затруднить на первых порах изучение предлагаемого курса.

Отметим некоторые особенности построения нашего курса. Начинается он, как обычно, с изучения основных понятий анализа: числа, функции, предела, непрерывности, производной, интеграла и т. д. Теория вещественного числа излагается аксиоматическим методом. Этот метод, являясь наиболее коротким, логически равноправен другим методам введения понятия числа: с помощью ли бесконечных десятичных дробей, с помощью ли классов фундаментальных последовательностей рациональных чисел, с помощью ли сечений в множестве рациональных чисел. Равноправен в том смысле, что ни при одном из этих способов не доказывается существование (непротиворечивость) множества вещественных чисел.

При изучении свойств функций большое внимание обращается на метод выделения главной части: показывается, что этот метод является универсальным для решения многих задач анализа; он применяется, например, при исследовании поведения функции (пределы, экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т. п ), при исследовании сходимости рядов, как числовых, так и функциональных, при исследовании сходимости интегралов, при изучении отображений многомерных областей, при приближенных вычислениях и т. п.

По возможности в курсе производится ознакомление учащегося с методами, выходящими, собственно говоря, за рамки классического анализа и находящими свое дальнейшее развитие в других отделах математики. Это делается там, где это полезно, где это в какой-то мере лучше разъясняет рассматриваемые свойства и, конечно, принципиально не усложняет изложения. Сюда относятся идеи теории функций вещественной переменной, метрической топологии, функционального анализа. Благодаря этому учащемуся будет легче в дальнейшем усваивать другие математические дисциплины, которые ему встретятся в процессе обучения или работы.

Существенным для последней части курса является введение пространства L2, как пополнения пространства непрерывных функций в соответствующей метрике. Такой подход к пространству L2 является достаточно коротким. Его недостаток, состоящий в том, что исходное пространство непрерывных функций дополняется некоторыми идеальными элементами, уменьшается за счет доказательства того, что всякая кусочно-непрерывная функция с интегрируемым квадратом (вообще говоря, в несобственном смысле) может быть рассматриваема как элемент пространства L2 Этого вполне достаточно для широкого круга прикладных задач. Введение пространств L2 позволяет с достаточной полнотой изложить теорию рядов Фурье по ортогональным системам и сказывается полезным во многих дальнейших математических курсах (интегральные уравнения, уравнения с частными производными, теория вероятностей и др.).

Порядок изложения материала максимально приближен к порядку изложения его на лекциях в МФТИ. Этим объясняется, например, то, что дифференциальное исчисление функций многих переменных излагается в двух разных главах (гл. II и V). Автор считает своим приятным долгом поблагодарить профессора С. М. Никольского, в беседах с которым в продолжение многих лет совместной работы обсуждалось преподавание различных вопросов математического анализа.

Автор приносит глубокую и искреннюю благодарность профессору В. С. Владимирову и преподавателям кафедры математики Московского физико-технического института К. А. Бежанову, И. А. Борачинскому, Б. И. Голубову, В. Б. Демьянову, Ю. П. Иванилову, С. И. Колесниковой, А. А. Крумингу, В. Ю. Крылову, Ф. Г. Маслова, Б. В, Федосову, Т. X. Яковлевой и студентке МГУ И. Ф. Бывшевой, взявших на себя труд прочитать рукопись отдельных глав и параграфов.

Автор особенно благодарит рецензентов профессора В. А. Ильина и доцента И. С. Аршона, прочитавших рукопись всей книги.

Большую благодарность автор приносит редакторам книги А. И. Селиверстовой и доценту Г. Н. Яковлеву, проделавшим большую работу по ее улучшению.

Все сделанные замечания были учтены автором при окончательном редактировании книги.

Трудную работу по подготовке рукописи проделали ст. лаборанты кафедры Г. Е. Пономарева и Е. 3. Лобанова, за что автор выражает им свою сердечную благодарность.

Автор считает также своим долгом отметить, что на него безусловно оказал влияние ряд курсов математического анализа, с которыми он знакомился в то или иное время. Из них следует отметить курсы Ш. Ж. де ла Балле—Пуссена «Курс математического, анализа бесконечно малых (Москва, ГТТИ, 1933), Г. П. Толстова «Курс математического анализа» (Москва, ГИТТЛ, 1954), Г. М. Фихтенгольца «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (Москва, ГИТТЛ, 1947).

Назад, на страницу описания