www.mexanik.ru

ВВЕДЕНИЕ

В последнее время метод конечных элементов становится распространенным способом решения сложных задач. По существу, он является дальнейшим развитием ранее разработанных способов расчета сооружений, в которых конструкция представлялась системой стержневых элементов. В настощее время в методе конечных элементов наряду со стержневыми используются элементы, описывающие поведение пластинок, плит, оболочек, трехмерных сред и др.

На начальной стадии развития метода основные усилия были направлены на разработку конечных элементов, предназначенных для решения частных задач. Возможности метода в связи с быстрым развитием вычислительной техники привели к увеличению объема сложности систем конечных элементов. Это, в свою очередь, дало толчок к разработке алгоритмов обработки данных и решения больших систем линейных алгебраических уравнений, к которым сводятся уравнения равновесия метода конечных элементов. В настоящее время используемые на ЭВМ программы позволяют рассчитывать очень большие системы благодаря тому, что применяемые алгоритмы были специально разработаны для этого метода.

Когда упоминают о методе конечных элементов, то всегда подразумевают под этим вычислительный процесс, осуществляемый с помощью ЭВМ. Он включает в себя описание конечных элементов, численное интегрирование для вычисления элементов матриц, объединение матриц для отдельных конечных элементов и полную матрицу ансамбля элементов и численное решение системы уравнений равновесия.

Цель книги — дать представление читателю об упомянутых выше проблемах метода и таким образом обеспечить основы понимания процесса решения. Так как метод конечных элементов основывается на методах численного анализа, то особое внимание уделяется вопросам его реализации на ЭВМ.

В соответствии с тремя основными научными направлениями книга разделена на три части. В первой приводятся наиболее важные сведения о матрицах и линейной алгебре. Многие читатели могут опустить элементарные правила матричной алгебры, но особое внимание должно быть уделено линейной алгебре, так как она служит основой понимания численных методов, рассматриваемых в последующих частях.

Вторая часть включает в себя основы метода конечных элементов и численные процедуры, необходимые для построения матриц конечных элементов и объединения их в полную матрицу ансамбля элементов. С момента начала использования метода конечных элементов было разработано огромное число типов конечных элементов. Цель настоящей книги заключена не в обсуждении всех возможных моделей конечных элементов, а в установлении общих принципов и описании только тех элементов, которые в настоящее время считаются наиболее эффективными.

В последней части книги рассматриваются вопросы решения уравнений равновесия для статических и динамических задач. Этот раздел определяет основные затраты машинного времени и заслуживает пристального внимания. Он должен быть эффективно реализован, так как используемые в этом разделе процедуры определяют возможность выполнения расчетов на ЭВМ.

Во всех частях книги основное внимание уделяется рассмотрению алгоритмов и физической сущности задачи, иногда в ущерб математической строгости. Физические основы и численные методы иллюстрированы более чем 100 проверенными примерами. В книгу также включены небольшие программы для демонстрации алгоритмов. Эти программы могут быть непосредственно использованы как подпрограммы метода конечных элементов.

Очень трудным вопросом при написании книги явилось составление списка литературы, который в должной мере отражал бы работы других исследователей, так как область применения метода конечных элементов расширяется очень быстро. Мне хотелось бы извиниться за отсутствие здесь ссылок на ряд работ, вызванное невозможностью отразить в книге все опубликованные работы.

Написание книги явилось результатом моей работы в области метода конечных элементов. Хотелось бы поблагодарить моего учителя Е.Вилсона, чья активная поддержка позволила мне выполнить исследования и завершить большую часть работы над данной книгой во время пребывания в Беркли. Хотя я написал эту книгу и ответственность за нее ложится на меня, имя Е.Вилсона на титуле обусловлено тем, что мои исследования в значительной мере основываются на результатах его ранних достижений.

В течение нескольких лет я был связан с Фредом Петерсоном из Корпорации инженерных расчетов в Беркли и мне хотелось бы поблагодарить его за поддержку. Я также хочу поблагодарить Стива Кеннея за оказанную мне помощь в решении задач, Элин Франкль, которая проделала огромную работу по перепечатке рукописи, Билла Гоейса за помощь, оказанную мне во время окончания работы и Розалию Херн - редактора книги, за ее терпение и прилежание. Наконец, особой благодарности заслуживает моя жена Зорка, которая своей любовью и терпением поддерживала меня в работе над книгой.

К.-Ю.Бате
Массачусетский технологический институт

В развитии метода конечных элементов принимали участие исследователи в области строительной механики и прикладной математики. В период с 1850 по 1860 гг. была разработана теория кручения и изгиба балок и тем самым заложены основы науки по расчету конструкций. В течение последующих 100 лет расчет конструкций основывался на изучении систем, содержащих одномерные элементы. В середине 1950 г. в авиастроении разработан двумерный элемент. Он был создан для того, чтобы улучшить моделирование всей конструкции путем учета работы мембранных элементов.

В 1960 г. Клафф впервые ввел понятие "конечный элемент" в статье "Использование метода конечных элементов для исследования плоского напряженного состояния". Метод был распространен на решение задач механики сплошных сред.

В 1909 г. Ритц разработал эффективный метод приближенного решения задач механики сплошных сред. Он включает в себя аппроксимацию функционала энергии с помощью известных функций с неизвестными коэффициентами. Минимизация функционала в отношении каждого неизвестного приводит к системе уравнений из которых могут быть определены неизвестные коэффициенты. Одно из основных ограничений метода Ритца состоит в том, что используемые функции должны удовлетворять граничным условиям задачи.

В 1943 г. Курант значительно расширил возможности метода Ритца путем введения специальных линейных функций на треугольных областях и применил метод к решению задач кручения. В качестве неизвестных были выбраны значения функций в узловых точках треугольных областей. Таким образом, основное ограничение, накладываемое на функции Ритца, в отношении удовлетворения граничным условиям было устранено. Метод Ритца с модификацией Куранта аналогичен методу конечных элементов, который независимо предложил Клафф много лет спустя. Основная причина, по которой метод конечных элементов получил огромное распространение в 1960 гг. заключается в том, что присущий данному методу большой объем вычислительных операций может быть выполнен только с помощью ЭВМ, тогда как в 1943 г. Курант не имел такой возможности.

В середине 1960-х гг. исследователи в области механики твердого тела и строительной механики показали, что модифицированный метод Ритца и метод конечных элементов совпадают, и в течение следующего десятилетия развитие и применение метода прогрессировало значительными темпами. Метод конечных элементов применялся для решения пространственных задач, задач с учетом физической и геометрической нелинейности, задач, зависящих от времени, и задач в различных областях, не связанных с расчетом конструкций, таких, как гидродинамика, теплопередача и теория поля. Некоторые сведения по истории метода приведены в третьей главе.

Успешное решение задач методом конечных элементов зависит от программного обеспечения, пои разработке которого необходимо основываться на трех основных положениях. Во-первых, аппроксимации, используемые для представления свойств различных конечных элементов, должны быть основаны на общих принципах механики сплошных сред. Во-вторых, численные методы, выбранные для интегрирования, решения уравнений, решения проблемы собственных значений, должны быть точны и эффективны. В-третьих, реализация на ЭВМ используемых вычислительных методов должна быть проведена с особой тщательностью для минимизации числа операций и оптимального использования оперативной и внешней памяти. Цель книги — дать необходимые знания во всех трех областях.

Разработка новых конечных элементов, численных методов и практических программ для ЭВМ была областью моих исследований в течение последних 15 лет. Результаты их отражены в книге. Последние годы сфера моих исследований была значительно расширена, что вызвано сотрудничеством с Клаусом-Юргеном Бате.

Е.Л.Вилсон
Калифорнийский университет, Беркли

Назад, на страницу описания